Как найти последнюю цифру числа 7 321. Последняя цифра числа

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №19»

г. Северодвинск

Архангельская область

Тесты по алгебре .

Парфёнова Любовь Владимировна.

Учитель математики.

Тест.

Действительные числа. Алгебра 8 класс.

1.Какое из чисел 5; -4; 0; являются натуральными?а) -4N б) 0N в) 5N г) N
2.Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество … чисела) целых б) рациональныхв) иррациональных г) действительных
3. Какое из выражений верно?а) Z N б) QZ в) QN г) Z Q
4. Чему равен период дроби а) 2 б) 25 в) 254 г) 545. Чему равен период дроби 2,273273…?а) 2 б) 732 в) 273 г) 22736.Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет некоторое …… число.а) рациональное б) иррациональное7) Какое из чисел является иррациональным числом?а) б) -3,24(12) в) 5,333… г) 12,020020002…8 Какое из чисел нельзя представить в виде дроби а) иррациональное б) рациональное в) целое г) натуральное

Тест.

Линейные уравнения с двумя переменными. Алгебра 9 класс.

Тест.

График уравнения с двумя переменными. Алгебра 9 класс.

Вариант1

Вариант2

Вариант3

Тест. Арифметическая прогрессия. Алгебра 9 класс.

1 вариант

1.Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, …А) умноженному на одно и то же числоБ) сложенному с одним и тем же числомВ) разделенному на одно и то же числоГ) возведенному в одну и ту же степень
2.Какая из последовательность является арифметической прогрессией?А) 1,4,9,16,25 … Б) 5,0,5,0,5 … В) Г) 0,4,8,12,16…..
3. Разность между любым членом арифметической прогрессии и ее предыдущим членом равна одному и тому же числу. Его обозначают d и называют…А) знаменателем арифметической прогрессииБ) разностью арифметической прогрессииВ) степенью арифметической прогрессииГ) коэффициентом арифметической прогрессии
4. Какая последовательность образуется, если первый член арифметической прогрессии а 1 =10 и d=5А) 10,15,20,25,… Б)10,5,0,-5,-10,… В) 10,50,250,1250… Г)10,2,
5. Последовательность (С n)- арифметическая прогрессия, С 1 =20 и d=3. Найдите С 5. А) 23 Б)17 В)35 Г)32

2вариант

1.Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, …А) умноженному на одно и то же числоБ) возведенному в одну и ту же степеньВ) разделенному на одно и то же числоГ) сложенному с одним и тем же числом
2.Какая из последовательность является арифметической прогрессией?А) 0,5,10,15,20… Б) 5,0,5,0,5 … В) Г) -1,2,-1,2,-1… Д) нет верного ответа
3. Формула n-ого члена арифметической прогрессии имеет видА)а n =а 1 +d Б) а n =а 1 +nd В) а n =а 1 +(n-1)d Г)а n =а 1 +(n+1)d
4. Какая последовательность образуется, если первый член арифметической прогрессии а 1 = -10 и d=5А) -10,-15,-20,-25,… Б)-10,-5,0,5,10.. В) -10,-50,-250,-1250… Г)-10,-2,
5. Последовательность (С n)- арифметическая прогрессия, С 1 =10и d=3.Найдите С 5.А) 13 Б) 7 В) 30 Г) 22 Д) нет верного ответа

Рабочая карта – помощница.

Арифметическая прогрессия.

Образцы решения задач.

Практическая часть.

Вариант 1

1.Найти двадцать третий член арифметической прогрессии (а n) , если а 1 =70 и d=-3.2. Найти сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: 18,14,12, …3. Найти сумму сорока первых членовпоследовательности (в n), заданной формулой в n =4n-2.4. Является ли число 30,4 членомарифметической прогрессии (а n), в которой а 1 =11,6 и а 15 =17,2(а n) а 1 =1,6 и d=1,5. Найти сумму членов этой прогрессии с пятого по десятый включительно.6. Докажите, что последовательностьзаданная формулой а n =67-5 n , валяется арифметической прогрессией. Найдите ее а 1 и d.

Вариант 2

1.Найти двадцать пятый член арифметической прогрессии (а n) , если а 1 =60 и d=-32. Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии: 7,14,21 …3. Найти сумму сорока первых членовпоследовательности (в n), заданной формулой в n =4n+2.4. Является ли число 6,5 членом арифметической прогрессии (а n), в которой а 1 =-2,25 и а 11 =10,255.В арифметической прогрессии (а n) а 1 =1,6 и d=1,5. Найти сумму членов этой прогрессии с пятого по десятый включительно.6. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных9 (т.е. делящихся на 9) и не превосходящих 80.

Тест.

1.Геометрической прогрессией называется последовательность … чисел, каждый член которой равен предыдущему …А. натуральных; умноженному на одно и то же числоБ. ненулевых; умноженному на одно и то же числоВ. ненулевых; сложенному с одним и тем же числомГ.отрицательных; умноженному на одно и то же число
2. (в n)-геометрическая прогрессия, q –знаменатель геометрической прогрессииА. Б. В. Г.
3. Соотнесите геометрическую прогрессию и её знаменательА. -3;-6….. Б. 2;1…… в. -10; 5 ….. Г. 7;14…….1) q=0,5 2) q=2 3) q =-0,5 4) q = -2 5) q=
4.Найти для каждой геометрической прогрессии (в n) пятый и шестой членыА. (в n): -3;-6… Б. (в n): 2;1… в.(в n): -1; 2 … Г.(в n):7;14…1) 2)3) 4) 5)
5.Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии(в n): -3;-6…А. 192 Б. -192 В. 193 Г.-193

Тест.

Геометрическая прогрессия. Алгебра 9 класс.

1.Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущемуА. сложенному с одним и тем же числомБ. умноженному на одно и то же числоВ.возведенному в одну и ту же степеньГ. Деленному на одно и то же число
2.Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии надоА. сложить два рядом стоящих члена геометрической прогрессииБ. умножить два рядом стоящих члена геометрической прогрессииВ. разделить член геометрической прогрессии на предыдущийГ. разделить член геометрической прогрессии на последующий
3.Найти знаменатель геометрической прогрессии: 3; 15; 75….А.3 Б. 15 В.5 Г.75
4. Найти в 3 , если в 1 =6 и q=2А.6 Б.24 В.12 Г.36
5.Найти q, если в 1 =5 и в 3 =125А. 5 Б.10 В.25 Г.4
6. Между числами -2 и -54 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессияА. -14, -24 Б -6, -18 В. -12, -36 Г -18, -42

Тест.

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Алгебра 11 класс.

1 вариант

1. Уравнение cos x=a, a имеет корни видаа) x=arcсos a +2n, nZб) x=arcсos a +n, nZ в) x = arcсos a +2n, nZ г) Корней нет
2. Уравнение cos x=a, a имеет корни видаа) x=arcсos a +2n, nZ б) x=arcсos a +n, nZ в) x = arcсos a +2n, nZ г) Корней нет
3. Уравнение sin x=a, a имеет корни видаа) x = arcsin a+n, nZ; x = π - arcsin a+n, nZ б) x = arcsin a+2n, nZ; x = π - arcsin a+2n, nZ в) x=arcsin a+2n, nZ г) x= arcsin a+2n, nZ
4.Уравнение tg x = a имеет корни видаа) x=arctg a +n, nZ б) x= arctg a +2n, nZ в) x= arctg a +n, nZ г) x= tg a +n, nZ
5. Уравнение сtg x=a имеет корни видаа) x=arсctg a +2n, nZ б) x= arcсtg a +n, nZ в) x=arcсtg a +n, nZ г) x = π - arcсtg a +n, nZ
6. Уравнение tg x = aа) имеет корни, если aБ) имеет корни, если a В) всегда имеет корни

n, nZ г) x = arcsin a+n, n3.Какая из функций является возрастающей на всей области определенияа) у = 7

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .

В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»

Тема: « Последняя цифра степени.»

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л.

р.п. Шербакуль

2010 – 2011 уч. год

Введение.

Цели работы.

Последняя цифра степени.

Закономерности возведения в степень

Две последних цифры степени.

Задачи.

Заключение.

Использованная литература.

Введение.

Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

1 1989 + 2 1989 + 3 1989 + 4 1989 + 5 1989 +…+ 1989 1989 .

Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели работы:

Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

Найти закономерность в них.

Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .

В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

Степень
Х 2
Х 3
Х 4
Х 5
Х 6
Х 7
Х 8
Х 9
Х 10
Х 11
Х 12
Х 13
Х 14
Основная часть I. Нахождение последней цифры в записи степени натурального числа. После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней: Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа , а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные . Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями Например, = *** или В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше определили искомую цифру как последнюю цифру числа . Получили 1. Во втором случае сначала нашли последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1. Второй способ нам понравился больше. Аналогично нашли последнюю цифру остальных степеней. В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n на 6. Но вторая задача достаточно сложная, так как показатели степеней простые числа и мы не можем представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как делали раньше. Но мы нашли способы решения. = * * * * или 9 9 9 9 3 1 3 3 1 3 3 3 Значит, последняя цифра степени равна 3. Мы решили найти более удобный, универсальный способ нахождения последней цифры степени. Решили заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во - второй строке - цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 Мы заполнили пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа. К нашему удивлению, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки. После решения этих примеров и заполнения таблицы мы пришли к выводу, что: Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой; Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой; В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6; В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число; В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6; В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6. Мы поставили перед собой такую задачу, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4. II. Составление алгоритма нахождения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4. Вернулись к нашим же примерам. Найти последнюю цифру степеней: , , , ;. 20: 4 = 5 (остаток 0) 1 8: 4 = 2 (остаток 0) 6 36: 4 = 9 (остаток 0) 6 24: 4 = 6 (остаток 0) 1 12: 4 = 3 (остаток 0) 5 Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований , кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1 , а для четных , искомая цифра равна 6. Последние материалы раздела: