Любое число можно записать в виде произведения. Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Закон гласит: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить, иначе говоря, .

Так же можно проделать и обратную операцию, вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как и, например, так и с числами: .

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа, ведь все знают, что числа, и делятся на, а как быть, если вам досталось выражение посложнее:

Как узнать на что, например, делится число, неет, с калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.

Признаки делимости

Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Примечание: В таблице не хватает признака делимости на 4. Если две последние цифры делятся на 4, то и всё число делится на 4.

Ну как тебе табличка? Советую ее запомнить!

Что ж, вернемся к выражению, может вынести за скобку да и хватит с него? Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на разделить не удастся,

Можно воспользоваться признаком делимости на, сумма цифр, и, из которых состоит число, равна, а делится на, значит и делится на.

Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления на получаем (признаки делимости пригодились!). Таким образом, число мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

Чтоб удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!

Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. Вот тут, например, видишь общий множитель?

У всех членов этого выражения есть иксы - выносим, все делятся на - снова выносим, смотрим что получилось: .

2. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти .

Ну, а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры.

Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

А вот что должно было получиться:

Как ты успел заметить, эти формулы - весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!

3. Группировка или метод группировки

А вот тебе еще примерчик:

ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на что-то делится и на, а что-то на и на

Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя , как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке - группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере:

В многочлене -- ставим член - после члена - получаем

группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух "кучек", на которые мы разбили выражение скобками.

Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.

Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки, а из второй, получаем:

Но это же не разложение!

П осле разложения должно остаться только умножение , а пока у нас многочлен просто поделен на две части...

НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это

за скобку и получаем финальное произведение

Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.

Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения, которые опять же мы и вынесли за скобку.

И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.

Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: .

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

4. Выделение полного квадрата.

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему ) необходимо преобразовать имеющийся многочлен , представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.

В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:

Многочлен в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать. Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будете довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока - учись, студент, точнее школьник.

Для полной формулы квадрата разности здесь нужно вместо. Представим третий член как разность, получим: К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов!!!) , имеем: , к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности!!!) , представив, как, получим: .

Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду. Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

Ответы:​

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.

Примеры 5 методов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры.

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило:

Пример:

Разложить многочлен на множители.

Решение:

Еще пример:

Разложи на множители.

Решение:

Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры.

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему !

Пример:

Разложите на множители выражение.

Решение:

В этом выражении несложно узнать разность кубов:

Пример:

Решение:

3. Метод группировки. Примеры

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен.

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
.

В первой группе вынесем за скобку общий множитель, а во второй − :
.

Теперь общий множитель также можно вынести за скобки:
.

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры.

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен.

Решение: Пример:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left(x+3 \right)}^{2}}}-9-7={{\left(x+3 \right)}^{2}}-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end{array}

Разложите на множители многочлен.

Решение:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{квадрат\ разности{{\left({{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left({{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5= \\
=\left({{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left({{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right) \\
\end{array}

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример.

Квадратный трехчлен - многочлен вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.

Значения переменной, которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена - это корни квадратного уравнения.

Теорема.

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен: .

Сначала решим квадратное уравнение:Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

Теперь твое мнение...

Мы расписали подробно как и для чего раскладывать многочлен на множители.

Мы привели массу примеров как это делать на практике, указали на подводные камни, дали решения...

А что скажешь ты?

Как тебе эта статья? Ты пользуешься этими приемами? Понимаешь их суть?

Пиши в комментриях и... готовься к экзамену!

Пока что он самый важный в твоей жизни.

(кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами . Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными ) числами . Простых чисел - бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых.

Например , запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5. Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа — множителями или сомножителями . Первый множитель иногда называется «множимое ».

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Разложение числа на множители (Факторизация).

Разложение на множители (факторизация) - перебор делителей — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

Т.е., простым языком, факторизация - это название процесса разложения чисел на множители, выраженное научным языком.

Последовательность действий при разложении на простые множители:

1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.

2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).

3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом.

Любое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей:

28 = 2 · 2 · 7

Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 15 и 28.

Разложить данное составное число на простые множители - значит представить это число в виде произведения его простых делителей.

Разложение данного числа на простые множители выполняется следующим образом:

1. Сначала нужно подобрать самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное составное число делится без остатка, и выполнить деление.
2. Далее, нужно опять подобрать самое маленькое простое число, на которое уже полученное частное будет делиться без остатка.
3. Выполнение второго действия повторяют до тех пор, пока в частном не получится единица.

В качестве примера, разложим на простые множители число 940. Находим наименьшее простое число, на которое делится 940. Таким числом является 2:

Теперь подбираем наименьшее простое число, на которое делится 470. Таким числом является опять 2:

Наименьшее простое число, на которое делится 235 - это 5:

Число 47 простое, значит наименьшим простым числом, на которое делится 47, будет само это число:

Таким образом, мы получаем число 940, разложенное на простые множители:

940 = 2 · 470 = 2 · 2 · 235 = 2 · 2 · 5 · 47

Если в разложении числа на простые множители получилось несколько одинаковых сомножителей, то для краткости, их можно записать в виде степени:

940 = 2 2 · 5 · 47

Разложение на простые множители удобнее всего записывать следующим образом: сначала записываем данное составное число и справа от него проводим вертикальную черту:

Справа от черты записываем самый маленький простой делитель, на который делится данное составное число:

Выполняем деление и получившееся в результате деления частное записываем под делимым:

С частным поступаем так же, как и с данным составным числом, т. е. подбираем самое маленькое простое число, на которое оно делится без остатка и выполняем деление. И так повторяем до тех пор, пока в частном не получится единица:

Обратите внимание, что иногда бывает достаточно трудно выполнить разложение числа на простые множители, так как при разложении мы можем столкнуться с большим числом, которое сложно с ходу определить, простое оно или составное. А если оно составное, то не всегда легко найти его наименьший простой делитель.

Попробуем к примеру разложить на простые множители число 5106:

Дойдя до частного 851, трудно с ходу определить его наименьший делитель. Обращаемся к таблице простых чисел. Если в ней найдётся число, поставившее нас в затруднение, значит оно делится только на себя и на единицу. Числа 851 нет в таблице простых чисел, значит, оно является составным. Остаётся только методом последовательного перебора делить его на простые числа: 3, 7, 11, 13, ..., и так до тех пор, пока не найдём подходящего простого делителя. Методом перебора находим, что 851 делится на число 23.

Можно представить в виде произведения простых чисел.

Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа 4, 6 и 8:

Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.

Это представление составного числа в виде произведения простых множителей.

Разложить составное число на простые множители - значит представить это число в виде произведения простых множителей.

Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно - в виде степени.

Пример.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3

Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Последовательность действий при разложении числа на простые множители:

1. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли данное число простым.
2. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка, и выполняем деление.
3. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом.
4. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое полученное частное делится нацело, и выполняем деление.
5. Повторяем пункты 3 и 4 до тех пор, пока в частном не получится единица.

Пример. Разложите число 102 на простые множители.

Решение:

Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа 102. Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое 102 разделится без остатка. Берём число 2 и пробуем разделить на него 102, получаем:

Число 102 разделилось на 2 без остатка, поэтому 2 - первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:

Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 51 составное. Начиная с числа 2, подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа 51. Число 51 не делится нацело на 2. Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу 3) и пробуем разделить на него 51, получаем:

Число 51 разделилось на 3, поэтому 3 - второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число 51 представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:

102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17

Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 17 простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится 17, будет само это число:

Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа 102 на простые множители имеет вид:

102 = 2 · 3 · 17

Ответ: 102 = 2 · 3 · 17.

В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел. Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённых вертикальной чертой). Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты - соответствующие наименьшие простые делители.

Пример. Разложить на простые множители число 120.

Решение:

Пишем число 120 и справа от него проводим вертикальную черту:

Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа 120:

Выполняем деление и получившееся частное (60) записываем под данным числом:

Подбираем наименьший простой делитель для 60, записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:

В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:

120 = 2 3 · 3 · 5.

Ответ: 120 = 2 3 · 3 · 5.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.

Урок в 6-м классе по теме

«Разложение на простые множители»

Цели урока:

Образовательные:

Сформировать представление о разложении чисел на простые множители, способность к практическому использованию соответствующего алгоритма.

Формировать умения и навыки использования признаков делимости при разложении чисел на простые множители.

Развивающие:

Развивать вычислительные навыки, умения обобщать, анализировать, выявлять закономерности, сопоставлять.

Воспитательные:

Воспитывать внимание, культуру математического мышления, серьезное отношение к учебному труду.

Содержание урока:

1. Устный счет.

2. Повторение пройденного материала.

3. Объяснение нового материала.

4. Закрепление материала.

5. Рефлексия.

6. Подведение итогов урока.

Ход урока

Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

Вступительное слово:

Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока « Разложение чисел на простые множители». Частично вы с ней уже знакомы. А чтобы лучше поставить цель урока, мы с вам немного поработаем устно.

Выполните действия (устно) .

Вычислите:

1. 15 х(325 -325) + 236х1 – 30:1 206

2. 207 – (0 х4376 -0:585) + 315: 315 208

3. (60 – 0:60) + (150:1 -48х0) 210

4. (707:707 +211х1):1 -0:123 212

Повторение изученного материала

Продолжите полученный ряд на 3 числа

(206; 208;210; 212;214;216;218)

Выберите из них числа делящиеся

на: 2 (206; 208;210; 212;214;216;218)

на 3: (210;216)

на 9: (216)

на 5: (210)

на 4: (208; 212; 216)

Сформулируйте признаки делимости

Вопросы: 1. Какие числа называются простыми?

2. Какие числа называются составными?

3. Что за число 1?

4. Назовите все простые числа первых двух десятков.

5. Сколько всего простых чисел?

6.Является ли число 32 простым?

7.Является ли число 73 простым?

Объяснение нового материала.

Решим очень интересную задачу.

Жили -были бед да бабка. Была у них курочка Ряба. Курочка несет каждое седьмое яичко золотое, а каждое третье – серебряное. Может ли быть такое?

(Ответ: нет, т.к. 21 яичко может быть золотым и серебряным) Почему?

Чему же мы должны научиться сегодня на уроке? (Разлагать любые числа на простые множители)

А как вы считаете, для чего этого нам нужно? (чтобы решать более сложные примеры, а также сокращать дроби)

Сегодня тема нашего урока поможет нам лучше понимать и решать подобные задачи.

Решите задачу: Нужно выделить участок земли прямоугольной формы площадью 18 кв. м., Какими и могут быть размеры этого участка, если они должны выражаться натуральными числами?

Решение: 1. 18=1 х 18 = 2 х3 х3

2. 18= 2 х 9 = 2х3х3

3. 18=3 х 6 = 3 х2х 3

Работа в парах.

Что мы сделали? (Представили в виде произведения или разложили на множители). А можно ли продолжить разложение? А как? Что получили?

Вопрос: что можно сказать об этих множителях?

Все множители простые числа.

Откройте учебник Что нужно сделать? Кто мне сможет объяснить, как это сделано? (Обсуждение в парах)

На разобранном примере разложим число 84 на простые множители (алгоритм разложения):

84 2 756 2 - учитель показывает на доске.

42 2 378 2

21 3 189 3 84 = 2х2∙3∙7 = 2 2 ∙3∙7

7 7 63 3

1 21 3 756= 2х2х3х3х3х3

Разложите число 756 на простые множители. Сравните с моим решением. Что заметили?

На стр.194 найдите ответ на следующий вопрос?

Любое число раскладывается в произведение простых множителей

единственным образом.

Закрепление изученного материала .

1. Разложить на простые множители числа:20; 188; 254.

сделаем проверку Слайд 12

20 2 188 2 254 2

10 2 94 2 127 127

5 5 47 47 1 1

1 1 1

№ 1. 20 = 2 2 ∙5; 188 = 2²∙47; 254 = 2∙127.

Каждому предлагаются карточки. Учащиеся решают и проверяют с оригиналом, который находиться на столе учителя. Если правильно выполнили ставят себе плюсик в сводной таблице. (Решить по 3)

Карточка №2. Разложить на простые множители числа:30; 136; 438.

Карточка №3. Разложить на простые множители числа:40; 125; 326.

Карточка №4. Разложить на простые множители числа:50; 78; 285.

Карточка №5. Разложить на простые множители числа:60; 654; 99.

Карточка №6. Разложить на простые множители числа:70; 65; 136.

После выполнения работы сделаем проверку.

№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.

№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163

№4. 50 = 2∙5²; 78 = 2∙3∙13; 285 = 3∙5∙9.

№ 5. 60 = 2²∙3∙5; 654 = 2∙3∙109; 99 = 3²∙11

№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.

Итог.

Что значит разложить число на простые множители?

(Разложить натуральное число на простые множители- это значит представить число в виде произведения простых чисел.)

2) Единственно ли разложение натурального числа на простые множители?

(Каким бы способом ни выполнялось разложение натурального числа на простые множители, мы получаем его единственное разложение, порядок множителей при этом не учитывается.)

Домашнее задание.

любые 4 числа разложить на простые множители.