Урок «Чтение и запись многозначных чисел. Запись многозначных чисел

Основные задачи учителя при изучении этой темы – сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице тысячи, как единицы второго класса: опираясь на понятие класса, научить читать и записывать многозначные числа; обобщить знание детей о нумерации целых неотрицательных чисел.

На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о последовательности натуральных чисел в пределах 100 о принципах записи трехзначных чисел. С этой целью на уроках, предшествующих изучению нумерации многозначных чисел, включают такие задания:

1) Сколько единиц в одном десятке, сколько десятков в одной сотне, на сколько одна сотня меньше тысячи, во сколько раз десяток больше единицы, во сколько раз десяток меньше сотни, как по-другому называется десяток миллиметров, сотня сантиметров и т. п.?

2) Какое число состоит из 4 сотен 5 десятков; из 2 единиц III разряда, 2 единиц II разряда и 2 единиц I разряда? Сколько единиц каждого разряда в числе 995? Сколько в нем всего единиц, сколько всего десятков? Замените число 380 (308, 388) суммой разрядных слагаемых.

3) Присчитывайте (отсчитывайте) по 1 (по 10, 50, 100), начиная с числа 500; назовите число, следующее при счете после числа 199, предшествующее числу 300.

4) Запишите число 909. Сколько всего цифр потребовалось для записи? Сколько различных цифр использовано? Что обозначает каждая цифра? Запишите этими же цифрами другое число. Что теперь обозначает цифра 0 (отсутствие единиц I разряда)? Запишите с помощью цифры 8 трехзначное число. Что обозначает цифра 8, стоящая в числе на 1-м (2-м, 3-м) месте справа?

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с повторения получения тысячи: использование присчитывания по одному начиная, например, с числа 995 выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое, самое маленькое четырехзначное – 1000.

Основным наглядным пособием является таблица разрядов и классов.

Идет работа с таблицей разрядов и классов, в которой обозначены (или обозначаются самими детьми) названия всех разрядных единиц от единиц до сотен тысяч. Учитель формулирует понятие или дети читают по учебнику названия всех разрядных единиц до сотен тысяч. Учитель поясняет, что единицы, десятки и сотни образуют I класс, или класс единиц, а единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют II класс, или класс тысяч. Целесообразно сравнить I и II класс установить их сходство и различие: в каждом классе по три разряда, единица каждого разряда в 10 раз больше предыдущей, но в I классе считают и группируют единицы, а во II классе тысячи.

Особое внимание следует обратить особое внимание на особенности записи чисел II класса; три нуля на конце обозначают отсутствие единиц I, II, III разрядов, т.е отсутствие единиц первого класса, но не отсутствие самих разрядов или класса.

На этом этапе рассматривается также десятичный состав чисел II класса. Назовите число, в котором 4 сотни тысяч и 7 десятков тысяч, 4 сотни тысяч и 7 единиц тысяч. Сколько единиц каждого разряда в числе 782 тыс.? Сложите числа 500 000 + 40 000 + 8 000; замените число 675000 суммой разрядных слагаемых». Этому же способствуют устные вычисления вида: 200 тыс. + 60 тыс., 375 тыс. –75 тыс. и т. п. В результате выполнения таких упражнений учащиеся придут к обобщению: числа II класса образуются из тысяч точно так же, как и числа I класса единиц; при чтении только добавляют слово –«тысячи», а на письме пишут в классе тысяч.

На следующем этапе работы учащиеся знакомятся с нумерацией 7- 9 значных чисел. Это дается также в основном с целью закрепления и обобщения знаний о десятичной системе счисления и натуральном ряде чисел. Работа над этими числами строится по такому же плану, как и над 4-6-значными числами.

Заканчивая работу над темой, целесообразно систематизировать знания детей по нумерации. С этой целью можно предложить учащимся охарактеризовать какое-либо данное многозначное число (например, 7307).

Алгоритм

1) Прочитайте число (семь тысяч триста семь).

2) Назовите число единиц каждого разряда и каждого класса (7 ед. I разряда, или 7 ед.; 3 ед. III разряда, или 3 сотни; 7 ед. IV разряда, или 7 тысяч; 307 ед. I класса и 7 ед. II класса).

3) Назовите общее число единиц каждого разряда (7307 ед., 730 дес., 73 сот., 7 тыс.).

4) Замените число суммой разрядных слагаемых (7307 = 7000 +300+7).

Данный урок поможет получить представление о теме «Чтение многозначных чисел», которая входит в школьный курс математики 4 класса. Учитель расскажет о том, как правильно читать многозначные числа, состоящие из тысяч, и как правильно записывать такие числа при помощи цифр.

Введение, знакомство с новым классом - классом тысяч

Если пред-ме-тов много, то при счете ис-поль-зу-ют не толь-ко зна-ко-мые вам счет-ные еди-ни-цы: еди-ни-цы, де-сят-ки, сотни - но и более круп-ные, на-при-мер ты-ся-чи. Ты-ся-чи счи-та-ют так же, как и про-стые еди-ни-цы: одна ты-ся-ча, две ты-ся-чи, три ты-ся-чи, че-ты-ре ты-ся-чи и так далее.

Де-сять тысяч - это один де-ся-ток тысяч.

Де-сять де-сят-ков тысяч - это одна сотня тысяч.

Де-сять сотен тысяч - это ты-ся-ча тысяч, или мил-ли-он.

Со-ста-вим таб-ли-цу клас-сов и раз-ря-дов (рис. 1).

Рис. 1. Таб-ли-ца клас-сов и раз-ря-дов

Вы зна-е-те, что еди-ни-цы, де-сят-ки, сотни со-став-ля-ют класс еди-ниц, или пер-вый класс. Еди-ни-цы тысяч, де-сят-ки тысяч и сотни тысяч со-став-ля-ют класс тысяч, или вто-рой класс. Еще раз по-смот-ри-те на таб-ли-цу: сколь-ко раз-ря-дов в каж-дом клас-се? Про-верь-те: три раз-ря-да. Раз-ря-ды пер-во-го клас-са: еди-ни-цы, де-сят-ки, сотни. Раз-ря-ды вто-ро-го клас-са: еди-ни-цы тысяч, де-сят-ки тысяч и сотни тысяч.

Чтобы про-чи-тать мно-го-знач-ное число, его раз-би-ва-ют на клас-сы, от-счи-ты-вая спра-ва по три цифры, затем счи-та-ют, сколь-ко еди-ниц каж-до-го клас-са, на-чи-ная с выс-ше-го.

Пример

Три нуля в за-пи-си по-ка-зы-ва-ют от-сут-ствие еди-ниц пер-во-го клас-са. На-зва-ние клас-са еди-ниц не про-из-но-сит-ся. Чи-та-ем число с выс-ше-го клас-са: «три-ста семь-де-сят две ты-ся-чи».

В этом числе мы видим 145 еди-ниц вто-ро-го клас-са и 312 еди-ниц пер-во-го клас-са. Чи-та-ем число с выс-ше-го клас-са: «сто сорок пять тысяч три-ста две-на-дцать».

В этом числе 528 еди-ниц вто-ро-го клас-са и 609 еди-ниц пер-во-го клас-са. Чи-та-ем число: «пять-сот два-дцать во-семь тысяч шесть-сот де-сять».

В дан-ном числе 60 еди-ниц вто-ро-го клас-са и 500 еди-ниц пер-во-го клас-са. Это «ше-сть-де-сят тысяч пять-сот».

В по-след-нем числе 7 еди-ниц вто-ро-го клас-са и 4 еди-ни-цы пер-во-го клас-са. Число «семь тысяч че-ты-ре».

Задание 1

Раз-бей-те число на клас-сы. Ска-жи-те, сколь-ко в нем еди-ниц каж-до-го клас-са.

От-счи-та-ем спра-ва у каж-до-го числа три цифры.

В числе 5 еди-ниц вто-ро-го клас-са и 400 еди-ниц пер-во-го клас-са. Чи-та-ем: «пять тысяч че-ты-ре-ста».

В числе 5 еди-ниц вто-ро-го клас-са и 432 еди-ни-цы пер-во-го клас-са. Чи-та-ем: «пять тысяч че-ты-ре-ста трид-цать два».

В числе 61 еди-ни-ца вто-ро-го клас-са и 209 еди-ниц пер-во-го клас-са. Чи-та-ем: «ше-сть-де-сят одна ты-ся-ча две-сти де-вять».

В числе 61 еди-ни-ца вто-ро-го клас-са и 290 еди-ниц пер-во-го клас-са. Чи-та-ем: «ше-сть-де-сят одна ты-ся-ча две-сти де-вя-но-сто».

В числе 500 еди-ниц вто-ро-го клас-са и 500 еди-ниц пер-во-го клас-са. Чи-та-ем: «пять-сот тысяч пять-сот».

В числе 500 еди-ниц вто-ро-го клас-са и 5 еди-ниц пер-во-го клас-са. Чи-та-ем: «пять-сот тысяч пять».

Задание 2

За-пи-ши-те циф-ра-ми числа:

1. Сто во-семь тысяч три-ста де-вять

2. Трид-цать тысяч семь-сот де-вять

3. Во-семь тысяч шесть-сот

Ре-ше-ние

Мно-го-знач-ные числа за-пи-сы-ва-ют по клас-сам, на-чи-ная с выс-ше-го. Чтобы за-пи-сать циф-ра-ми число, на-при-мер «сто во-семь тысяч три-ста де-вять», сна-ча-ла за-пи-сы-ва-ют, сколь-ко всего еди-ниц вто-ро-го, выс-ше-го, клас-са в числе - 108, потом за-пи-сы-ва-ют, сколь-ко всего еди-ниц пер-во-го клас-са в числе.

Для числа «трид-цать тысяч семь-сот семь-де-сят» за-пи-шем ко-ли-че-ство еди-ниц вто-ро-го выс-ше-го клас-са в числе, их трид-цать, и ко-ли-че-ство еди-ниц пер-во-го клас-са в числе, семь-сот семь-де-сят.

В числе «во-семь тысяч шесть-сот» 8 еди-ниц вто-ро-го клас-са и шесть-сот еди-ниц пер-во-го клас-са.

Задание 3

Про-чи-тай-те по-раз-но-му числа: 3754, 2900, 3970.

Ре-ше-ние

3754. Это число можно про-чи-тать по-раз-но-му:

А) 3 тыс. 754 ед.

На-зва-ние клас-са еди-ниц обыч-но не про-из-но-сит-ся, по-это-му про-чи-та-ем так: три ты-ся-чи семь-сот пять-де-сят че-ты-ре.

Б) 3 тыс. 7 сот. 5 дес. 4 ед.

Мы на-зва-ли ко-ли-че-ство еди-ниц каж-до-го раз-ря-да.

В) 37 сот. 5 дес. 4 ед.

Г) 37 сот. 54 ед.

Д) 375 дес. 4 ед.

Е) 3 тыс. 75 дес. 4 ед.

А) 2 тыс. 9 сот.

Б) 2 тыс. 90 дес.

А) 3 тыс. 9 сот. 7 дес.

Б) 3 тыс. 97 дес.

В) 3 тыс. 9 сот. 70 ед.

Г) 39 сот. 7 дес.

Д) 39 сот. 70 ед.

Свойство

Число, в ко-то-ром есть еди-ни-цы раз-ных раз-ря-дов, можно за-ме-нить сум-мой раз-ряд-ных сла-га-е-мых.

Задание 4

За-ме-ни-те сум-мой раз-ряд-ных сла-га-е-мых числа:

1903: 1 тыс. 9 сот. 3 ед.

407 020: 4 сот. тыс. 0 дес. тыс. 7 ед. тыс. 0 сот. 2 дес. 0 ед.

300 206: 3 сот. тыс. 0 дес. тыс. 0 ед. тыс. 2 сот. 0 дес. 6 ед.

164 800: 1 сот. тыс. 6 дес. тыс. 4 ед. тыс. 8 сот. 0 дес. 0 ед.

За-ме-ча-ние: если в раз-ря-де стоит ноль, его можно не пи-сать, так как при при-бав-ле-нии нуля по-лу-ча-ет-ся то же число.

Если натуральное число состоит из одного знака - одной цифры, то его называют однозначным, например, числа 3, 5, 9 - однозначные.

сли число состоит из двух знаков - двух цифр, то его называют двузначным. Например, числа 10, 23, 75 - двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам. Например: 145, 809 - это трехзначные числа.

Существуют четырехзначные, пятизначные числа и так далее.

Для чтения многозначное натуральное число разбивают справа налево на группы по три цифры в каждом (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами. Каждая из трех цифр класса обозначает разряд: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен.

Классификация начинается справа. Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие - класс тысяч, далее идет класс миллионов, затем - миллиардов. (см. Рис.). Так как ряд натуральных чисел бесконечен, то за миллиардами идут триллионы, за триллионами — триллиарды и т.д.

Миллион - это тысяча тысяч, его записывают с помощью единицы и шести нулей.

Миллиард - это тысяча миллионов. Его записывают с помощью единицы и 9 нулей.

Как же правильно прочитать многозначное число? Начинают читать многозначное число слева направо, по очереди называют число единиц каждого класса и добавляют название класса. При этом название класса единиц не называют, как и класса, в котором все три цифры — нули.

Например, вот это число (42 135 308) разбивают на классы так: оно имеет 308 единиц, 135 единиц в классе тысяч, 42 единицы в классе миллионов. Поэтому читают его так: 42 миллиона 135 тысяч 308.

Любое натуральное число можно представить в виде суммы разрядных единиц.

Например:

32 537 = 30 000 + 2 000 + 500 + 30 + 7

Таким образом, в этом уроке Вы познакомились с понятием натурального числа и натурального ряда, научились читать и классифицировать натуральные многозначные числа, а также раскладывать их по разрядам.

Источник конспекта:: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/4-klass/tema-3/chtenie-mnogoznachnyh-chisel?konspekt

http://znaika.ru/catalog/5-klass/matematika/Naturalnye-chisla.-Chtenie-i-zapis

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=frHwo0rvmvM

Многозначными считают числа больше тысячи. Многозначные числа – это числа класса тысяч и класса миллионов. Многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса.

Класс объединяет три разряда.

Класс единиц – единицы, десятки сотни. Это – первый класс.

Класс тысяч – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. Это – второй класс. Единица этого класса – тысяча.

Класс миллионов – единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов. Это – третий класс. Единица этого класса – миллион.

Таблица разрядов I класса:

В таблице записано число 257 000.

Таблица разрядов III класса

В таблице записано число 275 000 000.

Многозначные числа образуют второй класс – класс тысяч и третий класс – класс миллионов.

Десять сотен – это тысяча. Числа от 1001 до 1 000 000 называют числами класса тысяч.

Числа класса тысяч – это четыре-, пяти- и шестизначные числа.

Четырехзначные числа записывают четырьмя цифрами: 1537, 7455, 3164, 3401. Первая цифра справа в записи четырехзначного числа называется цифрой первого разряда или разряда единиц, вторая цифра справа – цифрой второго разряда или разряда десятков , третья цифра справа – цифрой третьего разряда или разряда сотен , четвертая цифра справа – цифрой четвертого разряда или разряда тысяч.

Цифра пятого разряда - это цифра десятков тысяч, цифра шестого разряда - это цифра сотен тысяч.

Целые тысячи: 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000.

Читают многозначные числа слева направо. Для чисел 1001 и далее порядок называния составляющих и разрядных чисел и порядок записи совпадает: 4 321 – четыре тысячи триста двадцать один; 346 456 – триста сорок шесть тысяч четыреста пятьдесят шесть.

Правило чтения многозначных чисел: многозначные числа читают слева направо. Сначала разбивают число на классы, отсчитывая справа по три цифры. Чтение начинают с единиц старших классов (слева). Единицы старших классов читают сразу как трехзначное число, добавляя затем название класса. Единицы I класса читают без добавления названия класса.

Например: 1 234 456 – один миллион двести тридцать четыре тысячи четыреста пятьдесят шесть.

Если какой-то класс в записи числа не содержит значащих цифр, его при чтении пропускают.

Например: 123 000 324 – сто двадцать три миллиона триста двадцать четыре.

Понятие «класс» является базовым для образования многозначных чисел. Все многозначные числа содержат два и более классов.

Класс объединяет три разряда (единицы, десятки и сотни).

На письме при записи многозначного числа принято делать разрядку между классами: 345 674, 23 456, 101 405, 12 345 567.

Правило записи многозначных чисел: многозначные числа записывают по классам, начиная с высших. Чтобы записать цифрами число, например, двенадцать миллионов четыреста пятьдесят тысяч семьсот сорок два, поступают так: записывают группами единицы каждого названного класса, отделяя один класс от другого небольшим промежутком (разрядкой):

Классовый состав – выделение «классовых чисел» (классовых составляющих) в многозначном числе.

Например: 123 456=123 000 +456

34 123 345= 34 000 000 +123 000+345

Разрядный состав – выделение разрядных чисел в многозначном числе:

На основе разрядного состава рассматриваются случаи разрядного сложения и вычитания:

400 000 + 3 000 20 534 – 34 340 000 – 40 000

534 000 – 30 000 672 000 – 600 000 24 000 + 300

При нахождении значений этих выражений ссылаются на разрядный состав трехзначных чисел: число 340 000 состоит из 300 000 и 40 000. вычитая 40 000 получаем

Разрядные слагаемые - сумма разрядных чисел многозначного числа:

247 000 = 200 000 + 40 000 + 7 000

968 460 = 900 000 + 60 000 + 8 000 + 400 + 60

Десятичный состав – выделение десятков и единиц в многозначном числе: 234 000 это 23 400дес. или 2 340сот.

При изучении нумерации многозначных чисел рассматривают также случаи сложения и вычитания, базирующиеся на принципе построения последовательности натуральных чисел:

443 999 + 1 20 443 – 1 640 000 + 1 640 000 – 1

10 599 + 1 700 000 – 1 99 999 + 1 100 000 – 1

При нахождении значения этих выражений, ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел: прибавляя к числу 1, получаем число следующее (последующее). Вычитая из числа 1, получаем число предыдущее.

Приведем основные виды заданий, выполняемых детьми при изучении многозначных чисел:

1) на чтение и запись многозначных чисел:

Разбей число на классы, скажи, сколько в нем единиц каждого класса, а потом прочитай число:

7300 29608 305220 400400 90060

7340 29680 305020 400004 600090

При выполнении задания следует воспользоваться правилом чтения многозначных чисел.

Запиши и прочитай числа, в которых: а) 30ед. второго класса и 870ед.первого класса; б) 8ед.второго класса и 600ед. первого класса; в) 4ед. второго класса и 0 ед. первого класса.

При выполнении задания следует воспользоваться таблицей разрядов и классов.

Запиши числа цифрами: «Наименьшее расстояние от Земли до Луны составляет триста пятьдесят шесть тысяч четыреста десять километров, а наибольшее – четыреста шесть тысяч семьсот сорок километров».

Ученики записали число девять тысяч сорок так: 940, 900 040, 9 040. Объясни, какая запись правильная.

При выполнении заданий следует воспользоваться правилом записи многозначных чисел.

2) на разрядный и классовый состав многозначных чисел:

Замени данные числа суммой по образцу:

108 201 = 108 000 + 201

360 400 = …+… 50 070 = …+… 9 007 = …+…

Задание на классовый состав многозначного числа.

Замени каждое число суммой разрядных слагаемых:

205 000=…+… 640 000=…+…

Вычисли: 200 000 + 90 000 + 9 000 4 000 + 8 000

299 000 – 200 000 408 000 – 8 000

Сколько единиц каждого разряда в числе 395 028, в числе 602 023? Сколько единиц каждого класса в этих числах?

При выполнении заданий используют схему разрядного состава многозначных чисел.

3) на принцип образования натурального ряда чисел:

Найди значения выражений: 99 999 + 1 30 000 – 1

100 000 – 1 699 999 + 1

Во всех случаях можно ссылаться на то, что добавление 1 ведет к получению числа последующего, а уменьшение на 1 – к получению числа предыдущего.

4) на порядок следования чисел в натуральном ряду:

У трех тракторов такие заводские номера: 250 000, 249 999, 250 001. Какой из них сошел с конвейера первым? Вторым? Третьим?

Запиши все шестизначные числа, которые больше числа 999 996.

5) На поместное значение цифры в записи числа:

Что обозначает цифра 2 в записи каждого числа: 2, 20, 200, 2 000, 20 000, 200 000? Объясни, как меняется значение цифры 2 в записи числа при изменении ее места.

Что обозначает каждая цифра в записи чисел: 140 401, 308 000, 70 050?

(В записи числа 140 401 цифра 4, стоящая на третьем месте справа, обозначает количество сотен, цифра 4, стоящая на пятом месте справа, обозначает количество десятков тысяч. Цифра 1, стоящая на первом месте справа, обозначает количество единиц в числе, а цифра 1, стоящая на шестом месте справа, - количество сотен тысяч. Цифра 0, стоящая на втором месте справа и четвертом месте справа, означает, что во втором и четвертом разрядах единиц нет.)

Запиши с помощью цифр 9 и 0 одно пятизначное число и одно шестизначное число. Используя эти же цифры запиши другие многозначные числа.

6) на сравнение многозначных чисел:

Проверь, верны ли равенства: 5 312 < 5 320 900 001 > 901 000

Сравни числа: а) 999…1 000 б) 9 999…999 в) 415 760…415 670 г) 200 030…200 003 д) 94 875…94 895

При сравнении первой пары чисел ссылаются на порядок следования чисел в натуральном ряду: число последующее больше, чем число предыдущее.

При сравнении второй пары чисел ссылаются на количество знаков в записи чисел: трехзначное число всегда меньше, чем четырехзначное.

При сравнении третьей, четвертой и пятой пары чисел используют правило сравнения многозначных чисел: Чтобы узнать, какое из двух многозначных чисел больше, а какое меньше, поступают так: сравнивают числа поразрядно, начиная с высших разрядов.

Например, из двух чисел 34 567 и 43 567 больше второе, поскольку в разряде десятков тысяч оно содержит 4 единицы, а первое в том же разряде содержит три единицы.

Из двух чисел 415 760 и 415 670 больше первое, поскольку класс тысяч в обоих числах содержит одинаковое количество единиц – 415ед. тыс., но в разряде сотен тысяч первое число содержит 7 единиц, а второе – 6 единиц.

Из двух чисел 200 030 и 200 003 больше первое число, поскольку класс тысяч в обоих числах содержит одинаковое количество единиц- 200ед.тыс., в разряде сотен оба числа содержат нули, в разряде десятков первое число содержит 3 единицы, а второе число в разряде десятков не имеет значащих цифр (содержит нуль), поэтому первое число больше.

Для большей наглядности при выполнении задания можно сравнивать две модели чисел из косточек на счетах (количественная модель).

Сравнивая многозначные числа, можно ссылаться на то, что число, содержащее в записи большее количество знаков всегда будет больше, чем число, содержащее меньшее количество знаков.

При сравнении чисел вида:

99 999…100 00 567 999…568 000

989 000…989 001 599 999…600 000

следует ссылаться на порядок следования чисел при счете: следующее число всегда больше, чем предыдущее.

7) на десятичный состав многозначных чисел:

Запиши числа: 376, 6 517, 85 742, 375 264. Сколько в каждом из них всего десятков? Подчеркни их.

Для определения количества десятков в многозначном числе можно прикрыть рукой последнюю цифру (первую справа). Оставшиеся цифры покажут количество десятков.

Для определения количества сотен в числе можно прикрыть рукой две последние цифры в записи числа (первую и вторую справа). Оставшиеся цифры покажут количество сотен в числе.

Например, в числе 2 846 – десятков 284, сотен – 28. В числе 375 264 – десятков 37 526, сотен – 3 752.

Рассмотри числа: 384 9, 560 18, 370 843. Какое из подчеркнутых чисел показывает, сколько всего десятков в числе? Сотен? Тысяч?

Сколько всего сотен в числе 6 800?

Запиши 5 чисел, каждое из которых содержит 370 десятков.

8) на соотношения между разрядами:

Спиши, заполняя пропуски:

1тыс.=…сот.1сот.=…дес. 1тыс.=…дес.

Как изменятся числа 3 000, 8 000, 17 000, если отбросить в их записи справа один нуль? Два нуля? Три нуля?

Сравни числа в каждом столбике. Во сколько раз увеличивается число, когда в его записи справа приписывают один нуль? Два нуля? Три нуля?

1 000 8 000 17 000

Числа 57, 90, 300 увеличь в 10 раз, в 100 раз, в 1 000 раз.

При выполнении последних двух заданий ссылаются на то, что увеличение числа в 10 раз переводит его в соседний разряд слева (десятки в сотни, сотни в тысячи и т.п.), а уменьшение числа в 10 раз переводит его в соседний разряд справа (десятки в единицы, сотни в десятки).

При увеличении числа в 10 раз (100, 1 000) таким образом можно просто приписать справа нуль (два нуля, три нуля). При уменьшении числа в 10 раз (100, 1 000) можно отбросить справа один нуль в записи числа (два нуля, три нуля).

Завершает изучение класса тысяч знакомство с числом 1 000 000 (миллион).

Десять сотен тысяч – это миллион. Тысяча тысяч – это миллион.

Миллион записывают так: 1 000 000.

Число 1 000 000 завершает изучение чисел класса тысяч.

Миллион (1 000 000) – это единица нового класса – класса миллионов

Миллион (1 000 000) – первое семизначное число в ряду натуральных чисел.

Миллион – наименьшее семизначное число.

Миллион – новая счетная единица в десятичной системе счисления.

В записи числа 1 000 000 цифра 1 обозначает, что в VII разряде (разряде миллионов) – одна единица, а в разрядах сотен тысяч, десятков тысяч, единиц тысяч и т.д. нули означают, что в этих разрядах нет значащих цифр.

Класс миллионов содержит три разряда единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов (VII, VIII и IX разряды).

Завершает класс миллионов число миллиард.

Миллиард – это 1 000 миллионов.

1 000 миллиардов – это триллион.

1 000триллионов – это квадриллион.

1 000 квадриллионов – это квинтиллион.

Представить себе такое количество чего – то невозможно. И.Я. Депман в «истории арифметики» приводит такой пример для иллюстрации больших чисел: «большегрузный железнодорожный вагон может вместить 50 миллионов рублей десятирублевыми билетами (купюрами). Для перевозки триллиона рублей понадобилось бы 20 тысяч вагонов».

Наглядная модель таблицы классов:

Читают число так: 412 миллионов 163 тысячи 539

Записывают так: 412 163 539

Для чисел класса миллионов действуют правило чтения, правило записи и правило сравнения многозначных чисел (см.выше).

В стабильном учебнике математики для начальных классов числа свыше миллиона не рассматриваются.

1. Системы счисления

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Системой счисления называют язык для наименования чисел, их записи и выполнения действий над ними.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак (цифра) может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком (цифрой) в записи числа.

Различные народы употребляли различные счетные группы. Большинство народов употребляло и употребляет десятичные группы счета или десятичную систему счисления. Единственной причиной выбора десятичной системы счисления является наличие у человека на руках десяти пальцев, которые служат удобнейшей вещественной основой для счета.

Для составления названий чисел по этой системе нужно иметь десять слов для названий первых десяти чисел и затем названия для новых счетных групп (сто, тысяча и т.д.). Добавление названий групп к числительным при счете позволяет обходиться десятью наименованиями числительных и десятью символами для записи чисел, соответствующих любому количеству.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 цифр (знаков, символов): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0. Из них образуют краткие записи чисел: 234, 56, 8 765 и т.п.

Каждая позиция в этой записи имеет свое название и свое условное значение: цифра, стоящая на первой позиции справа, означает количество единиц в числе; цифра, стоящая на второй позиции справа, означает количество десятков в числе и т.д. Таким образом, одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от места (позиции), где она записана. Благодаря этому свойству современную десятичную систему счисления называют позиционной. Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа.

Позиционный способ записи чисел является очень удобным и экономичным, поскольку, позволяет обходиться десятью значками (цифрами) при записи всего бесконечного множества чисел. Однако сама структура системы является чисто условной, особенно для ребенка, которому мы не можем объяснить ни роль «основания» системы (десятка), ни схему увеличения степени основания при «движении» по позициям справа налево, т.е. запись вида:

234 = 2∙ 10 2 + 3 ∙ 10 1 + 4 ∙ 10 0

не может быть рассмотрена в начальной школе, поскольку ребенок не знаком с понятием степени и способом нахождения степени числа.

При знакомстве с десятичной системой счисления ребенок просто заучивает, что числа 10, 100, 1 000 и т.д. называют разрядными единицами первого, второго, третьего и т.д. разряда, и что при этом 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 (фактически, отношения между разрядами – это просто степени числа 10).

В разные исторические периоды у некоторых народов имелись системы счисления с другими основаниями – 5, 12, 20, 60. например, древневавилонская система счисления была шестидесятиричная. Следы этой системы сохранились и сейчас в единицах измерения времени и величины угла: 1час = 60мин., 1мин. = 60с., 1 0 = 60 / .

Современные электронно-вычислительные машины используют двоичную систему счисления, основанную на обозначении чисел двумя цифрами 0 и 1. Например, число 2 (1+1) в ней будет записано как 10, а число 3 (2+1) – как 11.

В России десятичная система стала использоваться с XVIIв. До этого времени числа записывались буквами славянского алфавита.

РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯЮ

Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система. В ней числа от 1 до 20 обозначаются так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX..

Для записи больших чисел используют специальные обозначения: 50 – L, 100 - C,

500 - D, 1 000 - M.

Число 1917 в римской системе можно записать по-разному: MCM XVII или

При этом первая запись предпочтительнее, поскольку четыре одинаковые цифры в записи числа римскими цифрами писать не принято.

В римской системе счисления используется принцип суммирования (его иногда называют принципом вычитания) при записи чисел: если меньшая цифра стоит после большей (справа), то она прибавляется к большей: MD = 1500, XVII = 17. Если меньшая цифра стоит перед большей (слева), то она вычитается: CM = 900, IV = 4.

Римские цифры продолжали использовать в школьных учебниках и после проникновения в Европу современных цифр, поэтому их называли школьными.

Римскую запись чисел используют и сейчас для обозначения веков, глав книги, часов на круглых стрелочных циферблатах и т.п., поэтому во всех учебниках математики для начальных классов дети знакомятся с этой символикой.

Они все разные. Например, 2, 67, 354, 1009. Рассмотрим подробно эти числа.
2 состоит из одной цифры, поэтому такое число называют, однозначным числом . Еще пример однозначных чисел: 3, 5, 8.
67 состоит из двух цифр, поэтому такое число называют, двузначным числом . Пример двузначных чисел: 12, 35, 99.
Трехзначные числа состоят из трех цифр, например: 354, 444, 780.
Четырехзначные числа состоят из четырёх цифр, например: 1009, 2600, 5732.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные, шестизначные и т.д. числа, называются, многозначными числами .

Разряды чисел.

Рассмотрим число 134. У каждой цифры этого числа есть свое место. Такие места, называются, разрядами.

Цифра 4 занимает место или разряд единиц. Так же цифру 4 можно назвать цифрой первого разряда.
Цифра 3 занимает место или разряд десятков. Или цифру 3 можно назвать цифрой второго разряда .
И цифра 1 занимает разряд сотен. По-другому, цифру 1 можно назвать цифрой третьего разряда. Цифра 1 является последней цифрой слава числа 134, поэтому цифру 1 можно назвать, цифрой высшего разряда. Цифра высшего разряда всегда больше 0.

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. 10 единиц образуют один разряд десяток, 10 десятков образуют один разряд сотен, десять сотен образуют разряд тысяч и т.д.
Если нет какого-то разряда, то вместо него будет стоять 0.

Например: число 208.
Цифра 8 – первый разряд единиц.
Цифра 0 – второй разряд десятков. 0 означает в математике ничего. Из записи следует, что десятков у данного числа нет.
Цифра 2 – третий разряд сотен.

Такой разбор числа называется разрядным составом числа .

Классы.

Многозначные числа разбивают на группы по три цифры справа налево. Такие группы цифр называют классам. Первый класс справа называется классом единиц , второй называется классом тысяч , третий – классом миллионов , четвёртый – классом миллиардов, пятый – классом триллионов , шестой – классом квадриллионов , седьмой – классом квинтиллионов , восьмой – классом секстиллионов .

Класс единиц – первый класс справа с конца три цифры состоит из разряда единиц, разряда десятков и разряда сотен.
Класс тысяч – второй класс состоит из разряда: единиц тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч.
Класс миллионов – третий класс состоит из разряда: единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Разберем пример:
У нас есть число 13 562 006 891.
Это число имеет 891 единиц в классе единиц, 6 единиц в классе тысяч, 562 единиц в классе миллионов и 13 единиц в классе миллиардов.

13 миллиардов 562 миллионов 6 тысяч 891.

Сумма разрядных слагаемых.

Любое имеющее различные разряды можно разложить на сумму разрядных слагаемых . Рассмотрим пример:
Число 4062 распишем на разряды.

4 тысяч 0 сотен 6 десятков 2 единиц или по-другому можно записать

4062=4 ⋅1000+0 ⋅100+6 ⋅10+2

Следующий пример:
26490=2 ⋅10000+6 ⋅1000+4 ⋅100+9 ⋅10+0