Древние и современные системы счисления. Древние системы счисления

Агуреева Екатерина

без знания прошлого, тот никогда его не поймет…

Г.В.Лейбниц

Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.«Все есть число», говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей. Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле в различных областях, с количественными характеристиками объектов окружающего мира (возраст, вес, рост человека, численность населения, запасы полезных ископаемых, площади и т.д.).

Число – одно из основных понятий, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение в физике, механике, астрономии, химии, информатике и многих других наук. Данная тема актуальна в современном обществе, так какчисло является одним из немногих понятий, которое развивается с развитием общества.

Цель исследования: изучение чисел в разных культурах, ознакомление с системами счисления.

Задачи исследования:

· изучить историю возникновения чисел и символику;

· актуализировать подходы к представлению числовой информации;

· систематизировать и расширить знания о числе;

· показать взаимосвязь истории математики, истории развития общества в рассмотрении понятии числа;

· исследовать осведомленность одноклассников о многообразии чисел.

Объекты исследования: исторические процессы развития общества и математики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Министерство образования Саратовской области

Муниципальное автономное общеобразовательное

учреждение «Лицей № 37»

Фрунзенского района г. Саратова

«История чисел и систем счисления».

Творческая работа

ученицы МАОУ «Лицей № 37»

Агуреевой Екатерины

Сергеевны

Научный руководитель

Ручина Марина Юрьевна

Саратов, 2012 г.

Введение………………………………………………………………………..4

1. Развитие представления о понятии «число»…………………………………6

2. Появление цифр………………………....……………………………………..8

3. Непозиционные системы счисления………………………………………....10

3.1. Обозначение чисел и счет в Древнем Египте…………………………..11

3.2. Римская система счисления……………………………………………...12

3.3. Алфавитные системы счисления……………………………………......14

4. Позиционные системы счисления…………………………………………..17

4.1. Вавилонская система счисления………………………………………..18

4.2. Древнекитайская десятеричная система счисления…………………...19

4.3. История «арабских» чисел……………………………………………....20

4.3.1 Двоичная система счисления………………………………………...21

4.3.2 Пятеричная система счисления ……………………………………..22

4.3.3 Десятичная система счисления……………………………………...23

4.3.4 Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления…………..24

Заключение……………………………………………………………………...25

Список использованной литературы…………………………………………...26

Приложение 1 …………………………………………………………………....27

Приложение 2…………………………………………………………………….28

Введение.

Кто хочет ограничиться настоящим,

Без знания прошлого,

Тот никогда его не поймет…

Г.В.Лейбниц

Можно ли представить себе мир без чисел? На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся и даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Поэтому целью данной работы является исследование истории возникновения чисел, связанной с необходимостью выражения всех чисел знаками.

Пересчитывая предметы, мы даем этому множеству количественную характеристику, даже не задумываясь о том, что и в далекие времена наши предки могли считать или, во всяком случае, могли определить количество предметов. Мы живем среди чисел. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. При помощи чисел производятся измерения, сравнения, вычисления, рисование, проектирование, даже можно делать умозаключения, выводы. Число - важнейшее понятие математики. Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признается удовлетворительной подавляющим большинством математиков.

Так, первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов.

Практически ежедневно мы сталкиваемся с необходимостью обработки числовой информации, что влечет за собой необходимость создания и усовершенствования вычислительных устройств, благодаря которым обрабатывается огромное количество данных за наименьшее время. Так, для электронного хранения данных в памяти компьютера удобны две цифры, поскольку они требуют только двух состояний электронной схемы – «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0). Такое представление информации называется двоичным или цифровым кодированием. Способы цифрового кодирования текстов, звуков, изображений, а также трехмерных объектов были придуманы в 80-х годах прошлого века.

Цифры, знаки обозначения арифметических действий и другие математические символы вырабатывались людьми постепенно на протяжении веков. Большинство их образовалось из рисунков, чертежей, букв и сокращённых слов.

Согласно учению Пифагора, числа являются мистической сущностью вещей, математические абстракции таинственно руководят миром, устанавливая в нем определенный порядок. Пифагорейцы высказывали предположение о том, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел. Числа признавались не просто выражениями закономерного порядка, но и основой материального мира.

1. Развитие представления о понятии "число".

Еще в глубокой древности числа относились к области тайного. Они зашифровывались символами, и считались символами гармонии мира. Существует много теорий о происхождении чисел.

Пифагорейцы считали, что числа принадлежат к миру принципов, лежащих в основе мира вещей. Пифагор говорил: «Все вещи можно представить в виде чисел».

Аристотель называл число «началом и сущностью вещей, их взаимодействием и состоянием».

Древние египтяне были убеждены, что постижение священной науки чисел составляет одну из высших ступеней герметического действия, без него не может быть посвящения.

У китайцев нечетные числа – это Ян (небо – благоприятность), четные числа – инь (земля, изменчивость и неблагоприятность). Нечетность символизирует незавершенность, непрекращающийся процесс, постоянное продолжение, то есть все то, что не имеет конца, относятся к области вечного. Поэтому в орнаментах, в укрощениях архитектурных или скульптурных сооружений используется обычно нечетное число черт или элементов. Числа – символ порядка. Реки, деревья и горы представляют собой материализованные числа.

Люди научились считать еще в каменном веке. На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предмета другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». Знания постепенно росли, и чем дальше, тем больше увеличилась потребность в умении считать и мерить.

Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя, и вместе с тем числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать. Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства.

То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два», а все числа больше двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных: число 3 – это «два и один», 4 – «два и два», 5 – «два, два, один».

Жизнь заставляла племена учиться быстрее, поэтому у земледельческих народов математика из наборов отдельных простейших правил постепенно стала превращаться в науку.

2. Появление цифр.

Цифры – это знаки, с помощью которых записывают числа. Система счисления или нумерация – это способ записи чисел с помощью цифр.

В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда впоследствии и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» в переводе с латинского означает «камень».

Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек. Для того чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскладывали бирку пополам. Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать «подделки документов», так как при возникновении спорной ситуации половинки можно было сложить и сравнить совпадение и число зарубок.

Такая система записи чисел называется единичной (унарной ), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, того не осознавая, этим кодом активно пользуются малыши, показывая на пальцах вой возраст. Именно унарная система является фундаментом арифметики и до сих пор вводит учащихся в мир счета.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел, так как их записывать утомительно и записи при этом получаются очень длинными.

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета. Эти узелки назывались кипу. Когда накапливалось по несколько метров веревочной «счетной книги», достаточно сложно было вспомнить через год, что означают 4 узелочка. Людей, завязывающих узелки, называли вспоминателями.

Так же, в качестве вычислительного инструмента у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

Индейцы племени майя в Америке считали пятерками: одна пятерка – единица следующего разряда, пять пятерок – новый разряд и т.д., соответственно они пользовались пальцами только одной рукой.

Некоторые племена использовали только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трех фаланг, т.е. имели в распоряжении двенадцать объектов счета. Так возникла дюжина, которая была широко распространена и в Европе, и в России, но постепенно уступила свое место десятке. До сих пор в Европе дюжинами считают пуговицы, носовые платки, куриные яйца и многое другое, что продается поштучно.

С течением времени возникли иные, более экономичные системы счисления. Впоследствии, люди пришли к разумному решению: записывать числа по разрядам, а точнее, отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Так как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

3. Непозиционные системы счисления.

Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

непозиционной , если в ней количественные значения символов, используемых для записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

В непозиционных системах для представления числа используется сложение всех цифр, по-английски сложение – add. Поэтому другое название этих систем - аддитивные .

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков :

1. существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел;

2. невозможно представлять дробные и отрицательные числа;

3. сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков была счетная доска - абак. Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

3.1. Обозначение чисел и счет в Древнем Египте.

Система счисления Древнего Египта является непозиционной . Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10,100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы.

100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила; - 1000 это изображение лотоса; - 10 000 "в больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец; - 100 000 это головастик; - 1 000 000 человек с поднятыми вверх руками; - 10 000 000 египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца.

С течением времени эти знаки изменились и приобрели более простой вид. Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы:

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая наименьшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду . Особую роль у египтян играло число 2 и его степени. Умножение и деление они проводили путем последовательного удвоения и сложения чисел и в результате расчеты выглядели довольно громоздко.

3.2. Римская система счисления.

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, служит система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах и т.д.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

С течением времени облик римских цифр видоизменился, неизменными остались I, V, Х. Ученые предполагают, что первоначально иероглиф для числа 100 имел вид пучка трёх черточек на подобие русской буквы Ж , а уже впоследствии 100 стали обозначать буквой С (от начальной буквы латинского слова centum – «сто») , а для числа 50 – вид верхней половинки этой буквы., которая в дальнейшем трансформировалась в знак L. Для обозначении чисел 500 и 1000 стали применяться первые буквы соответствующих латинских слов (demimille – «половина тысячи», «пятьсот», mille – «тысяча»).

Одно из правил записи римских чисел гласит: «Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей». Например: VII=5+1+1=7; IX=10-1=9

Если проанализировать множество старинных и современных надписей римскими цифрами, то можно убедиться, что авторы придерживались каких-то негласных правил. Но единых и четких принципов записи римских чисел до сих пор так и не выработано.

Римская система нумерации десятичная, но непозиционная.

3.3. Алфавитные системы счисления.

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Примером такой системы являлась греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. Так, в Древней Греции числа 1,2,….9 обозначали первыми девятью буквами греческого алфавита: ά (Альфа) = 1, β (Бета) = 2, γ (Гамма) = 3 и т.д.. Для обозначения десятков применялись следующие девять букв, для сотен последние 9 букв. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Алфавитной нумерацией пользовались также южные и восточные славянские народы. У одних числовые значения букв устанавливались в порядке славянского алфавита, у других (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок ~ («титло»). При этом, числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иным).

В России славянская нумерация сохранялась до конца XVII века.

При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Первые девять чисел записывались так:

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Остальные числа записывались буквами слева направо, напри мер, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение.

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но слева внизу у них ставился специальный знак.

1000 - 2000 - 7000

Десятки тысяч назывались «тьмами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками:

10000 - 20000 - 50000

Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружочками из точек. Например, числа 100 000 и 200 00 обозначались так:

100000 - 200000

Миллионы назывались «леордами», их обозначали, обводя знаки единиц кружочками из лучей запятых.

или - 1000000

Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны знака единиц букву «К». Например, числа 10 000 000 или 20 000 000 обозначались так:

10000000

Сотни миллионов назывались «колодами». Для их обозначения над и под буквой, обозначающей единицы, ставились квадратные скобки. Например, числа 100 000 000 записывались в виде:

При записи чисел больших, чем тысячи, в практической деятельно сти (счете, торговле и т.д.) часто вместо кружков ставили знаки «; Л» перед буквами, обозначавшими десятки и сотни тысяч, например, запись означает соответственно 500044 и 540004.

В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше ты сяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходив ший до числа 10 50 .

4. Позиционные системы счисления.

Рассмотренные нами иероглифические и алфавитные системы счисления имели существенный недостаток – в них было очень трудно выполнять арифметические операции. Этого неудобства нет у позиционных систем.

Система счисления называется позиционной , если количественные значения символов, используемых для записи чисел, зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

Рассмотрим на примере, число 3333 – три тысячи триста тридцать три. Здесь каждая цифра «3» в зависимости от того, в каком месте находиться обозначает свое число. Первая тройка слева, это три тысячи, вторая, три сотни, третья – три десятка, четвертая – три единицы. Т.е. это позиционная система. В таких же системах значение каждой цифры, зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Число 3333 можно представить в таком виде 3*1000 + 3*100 + 3*10 + 3. Т.е. для представления этого числа используется умножение (по-английски multiplication), отсюда название этой системы – мультипликативная .

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827 г.г.) такими словами оценил «открытие» позиционной системы счисления: «Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна…».

Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

4.1. Вавилонская система счисления.

Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в III тысячелетии до нашей эры в Месопотамии (Междуречье) у древнего талантливого народа – шумеров. От них она перешла к вавилонянам – новым хозяевам Междуречья, почему и вошла в историю как вавилонская система счисления.

Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

До нас дошли сотни тысяч обожженных глиняных табличек с письменами древних вавилонян. Простейшими цифрами в их системе служили два знака: вертикальный клин для обозначения 1 и горизонтальный клин для 10. Числа от 1 до 59 записывались с помощью этих двух знаков, как в обычной иероглифической системе.

Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так:    Число 60 снова обозначалось знаком  , например число 92 записывали так: 

Был у вавиловян и знак, игравший роль нуля, им обозначали отсутствие промежуточных разрядов, но при этом отсутствие младших разрядов не обозначалось никак. Так, число  могло обозначать и 3 и 180 = 3*60 и 10 800 = 3*60*60. Различать такие числа можно было только по смыслу. Отголоски этой системы проявляются в обыкновении делить час на 60 мин, 1 мин на 60 секунд, полный угол на 360 градусов.

4.2. Древнекитайская десятеричная система счисления.

Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Например:

5 * 100 + 4 * 10 + 8 = 548

Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе счисления.

4.3. История «арабских» чисел.

История привычных «арабских» чисел запутана и возникла благодаря древним астрономам, их точным расчетам. Примерно во II веке до н.э. греческие астрономы познакомились с наблюдениями вавилонян, переняли их позиционную систему счисления. Целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Для обозначения нуля использовали первую букву греческого слова Ouden - ничто. Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией, переняв шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль, соединили греческую нумерацию с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Арабы, в свою очередь первыми оценили, усвоили и перенесли ее в Европу, упростили знаки, и они приобрели вид , получив название арабской . В XII веке нашей эры она распространилась по всей Европе, так как была удобнее и проще. Слово «цифра» перешло к нам от арабов по наследству нуль или «пусто», называли «сифра». Сейчас цифрами называются все десять знаков для записи чисел.

Позиционных систем счисления достаточно много: двоичная, пятеричная, восьмеричная, десятичная, двенадцатеричная, двадцатеричная, шестидесятеричная и т.д. и каждая имеет свою историю, рассмотрим некоторые из них.

Основание системы счисления – это число, на основе которого ведется счет.

Например, если основание системы счисления равно десяти, то минимальная счетная группа этой системы счисления равна 10, это значит, что, сосчитав какие-либо предметы до десяти, мы считаем снова с единицы, но при этом запоминаем число десятков. В нашей «арабской» системе основанием является число десять. Десятеричная и пятеричная система возникла от того факта, что на одной руке человека пять пальцев, на двух руках 10 пальцев. Происхождение двенадцатеричной системы тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев. Если двенадцать умножить на пять, то получим шестидесятеричную систему.

4.3.1 Двоичная система счисления.

Это основная система счисления, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования информации в технических устройствах. Так, для электронного хранения данных в памяти компьютера удобны две цифры 1 и 0, так как они требуют только двух состояний электронной схемы – «включено» и «выключено».

Каждый символ представляется цепочкой из 8 нулей и единиц (всего существует 256 цепочек). Такое представление называется двоичным или цифровым кодированием .

Соответствие символов и кодов задается с помощью специальных кодовых таблиц.

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную:

Каждая последующая цифра в 2 раза больше предыдущей:

1 2 4 8 16 32 64 и т.д.

Пусть имеется число 1111012, его можно представить так:

111101 2 =1*1 + 0*2 + 1*4 + 1*8 + 1*16 + 1*32 = 61 10 , или каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, возвести в степень соответствующую положению символа в записи числа и все произведения сложить.

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код:

Данный способ основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным 0.

75 10 = 1001011 2

4.3.2 Пятеричная система счисления.

В качестве вычислительного инструмента у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

Индейцы племени майя в Америке считали пятерками: одна пятерка – единица следующего разряда, пять пятерок – новый разряд и т.д., соответственно они пользовались пальцами одной руки.

Рассмотрим пятеричную систему счисления:

0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44

Переведем число 34 из пятеричной систему счисления в десятичную: 34 5 = 3*5 1 + 4*5 0 = 15+4=19 10 и, наоборот, из десятичной в пятеричную:

19 10 = 34 5

4.3.3 Десятичная система счисления.

Система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, в которой производим все вычисления, на ней базируется метрическая система мер. Десятичной она называется, так как в ней используется десять различных знаков (цифры 0,1,2,3….9).

В десятичном числе 255 = 2*100+5*10+5*1 цифры «5», находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения – 5 десятков и 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию, ее «вес» изменится в 10 раз.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат таблицы умножения и сложения, а также правило переноса: если в результате сложения двух цифр получается число, которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью нескольких цифр, находящихся на соседних позициях.

Перевод чисел из одной системы в другую осуществляется по аналогии с предыдущими системами.

Позиционный принцип и цифровое обозначение могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, кроме единицы.

4.3.4 Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления.

В восьмеричной системе счисления использовались цифры от 0 до 7. Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную.

Широкое распространение имели элементы двенадцатеричной системы счисления и в Европе, и в России. Для счета использовались только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трех фаланг.

Число двенадцать (дюжина), также составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления, так как число 12 имеет больше делителей (2,3,4,6), чем 10 (2 и 5) , следовательно, в двенадцатеричной системе счисления более удобно производить расчеты, чем в десятичной. В XIX веке математики были за полный переход именно на эту систему, но перевес на сторону десятки возник из-за возможности счета по пальцам рук (десятками).

Дюжина прочно вошла в нашу жизнь. Например, в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов, набор карандашей или фломастеров состоит из 6, 12 или 24 шт., столовые сервизы рассчитаны на 6 или 12 персон.

Заключение.

Изучая исторические процессы развития общества и математики, мы выяснили, что понятие числа прошло длинный исторический путь развития и наука о числах и действиях над ними необходима для прогрессивного развития человеческого общества. Числа составляют часть человеческого мышления и мы порой не отдаем себе отчета, насколько важны они в нашей жизни.

При исследовании истории возникновения чисел была установлена зависимость между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками. Эта зависимость повлияла на появление знаков-цифр, которые заменили другие не совсем удобные способы обозначения. Мы узнали о существовании различных теорий о происхождении чисел и пришли к выводу, что самым ценным вкладом в сокровищницу математических знаний человечества является употребляемый нами способ записи при помощи десяти знаков чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

В процессе исследования и с целью выявления осведомленности одноклассников о многообразии чисел нами было проведено анкетирование (Приложение 1, Приложение 2).

Список литературы:

1. Александров Э., Левшин В. «В лабиринте чисел».- М., 1997
2. Босова Л.Л. Информатика: учебник для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 208 с.: ил.
3. Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995 г.
4. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995 г.
5. Перельман Я.И. Занимательная математика: Е.: Издательство «Тезис», 1994 г.
6. Рыбников К.А. История математики. М.: Наука, 1994 г.
7. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990 г.

Приложение 1

Анкета для учеников 5 класса

1. Что такое число?
2. Что такое цифры?
3. Что обозначало слово «цифра»? Откуда оно пришло к нам? Изменилось ли его значение со временем?
4. Почему нами используется десятичная система счисления?

Приложение 2

Проведя анкетирование в своем классе, после обработки данных, мы получили следующие результаты:

80 % - учащихся знают, что такое число;

100 % - что такое цифра;

40% - учащихся знают, что означало слово «цифра» и имеют представление об истории происхождения.

70 % - почему нами используется десятичная система счисления.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

Издревле человек проявляет интерес к окружающему миру, пытается его изучить, а полученные знания систематизировать и упорядочить. Один из таких способ - счет. Для этого были придуманы В настоящее время существует множество способов счета и учета информации. В этой статье мы расскажем о том, что такое натуральные числа, какие бывают системы счисления, как их использовать, а также историю их возникновения.

Общие сведения

Так что такое натуральные числа? Определение говорит, что они являются простейшими, то есть используются в повседневной жизни для подсчета количества каких-либо предметов. В настоящее время применяется позиционная десятеричная система счисления. Приведем определение данному понятию. Системы счисления - это представление чисел при помощи письменных символов (знаков), символический способ записи чисел. Стоит разделять понятия "число" и "цифра". Первое представляет собой некую абстрактную сущность, меру для определения количества. Цифрами называют определенные символы, которые используются для записи чисел. Самая популярная и распространенная - это арабская система символов. В ней цифры представляются знаками от 0 (нуля) и до 9 (девяти). Именно она используется для обозначения натуральных чисел в настоящее время. Менее распространенной является римская система счисления. Но о ней подробнее мы расскажем дальше.

Из выше сказанного можно сделать вывод, что натуральные числа - это те, которые используются для счета предметов, указывают на порядковый номер какого-либо предмета среди аналогичных. Например, 5, 18, 596, 10873 и так далее.

Что такое числовой ряд?

Все натуральные числа, которые располагаются в порядке возрастания, образуют так называемый числовой ряд. Свое начало он берет с наименьшей цифры - единицы. Самого большого числа нет, так как данный ряд бесконечен. Таким образом, если к последующему числу мы прибавляем один, то получим следующее число. Стоит отметить, что число ноль не является натуральным числом. Оно означает полное отсутствие чего-либо, не имеет под собой материального основания. Следовательно, ноль нельзя отнести к классу под названием "натуральные числа". Обозначается множество натуральных чисел при помощи заглавной латинской буквы N.

Как они появились?

В самые древние времена для написания чисел использовали палочки. Такой способ позаимствовали римляне для своей непозиционной системы счисления (что это такое, мы расскажем дальше). При этом число записывалось без каких-либо символов, а как разность или сумма палочек.

Следующий этап развития системы счисления - обозначение при помощи букв. Затем появился позиционный класс чисел, который используется и по сей день. Новаторами в этой области стали древние вавилоняне и индусы, придумавшие шестидесятеричную и десятеричную системы соответственно. Стоит отметить, что широко используемая арабская система является производной от древнеиндийской. Арабские математики только дополнили ее цифрой нуль.

Классификация системы счисления

Так как чисел намного больше, чем соответствующих цифр, то для их записи принято использовать комбинацию (набор) цифр. Малое количество чисел (небольшое по величине) обозначается одной цифрой. Выходит, что системы счисления - это способы записи числовых значений при помощи цифр. Величина может зависеть от того, в каком порядке идут цифры, а может и не иметь значения. Данное свойство определяется системами счета, что служит основанием для классифицирования. Существует три группы (класса).

1. Смешанные.
2. Позиционные.
3. Непозиционные.

В качестве примера первой группы приведем денежные знаки. Рассмотрим российскую монетарную систему. В ней используются купюры и монеты таких номиналов, как: один, два, пять, десять, сто, пятьсот, тысяча и пять тысяч рублей, а также одна, пять, десять и пятьдесят копеек. Чтобы получить определенную сумму в рублях, необходимо использовать соответствующее количество денежных знаков различного номинального достоинства. Например, микроволновая печь стоит 6379 российских рублей. Чтобы сделать покупку, можно взять шесть купюр номиналом в тысячу рублей, 3 банкноты по сто рублей, одну купюру в пятьдесят рублей, две - по десять, одну монету в пять рублей и две монеты по два рубля. Если мы запишем количество монет или купюр, начиная от одной тысячи рублей и заканчивая копейкой, при этом заменяя неиспользуемые номиналы нулями, то получим следующее число: 603121200000. Если перемешать цифры в полученном ранее числе, то мы получим ложную цену на микроволновую печь. Поэтому такой способ записи относится к позиционному классу. Натуральные числа - это прямой пример позиционного класса.

Непозиционный класс - что это такое?

Непозиционная система счисления чисел характеризуются тем, что общая величина числа не зависит от положения цифры пи написании. Если к каждой цифре мы припишем соответствующий знак номинала, то такие составные символы (номинал плюс цифра) можно перемешивать. Другими словами, такая запись является непозиционной. В качестве чистого примера можно привести римскую систему. Ее рассмотрим более подробно.

Римские цифры

Этим понятием называют систему знаков (символов), которая была придумана древними римлянами для своей системы счисления. Суть ее состоит в следующем: все натуральные числа записываются повторением цифр. При этом, если меньшая цифра стоит перед большей, то первая вычитается из последней. Это называется принципом вычитания. Если имеет место четырехкратное повторение, данное правило на него не распространяется. А если же большая цифра стоит перед меньшей, то, наоборот, они складываются (принцип сложения). Историки отмечают, что данная система датируется примерно пятым веком до нашей эры у этрусков, которые, в свою очередь, могли ее перенять у протокельтов. Для правильного написания большого числа римскими символами необходимо сначала написать количество тысяч, потом - сотен, затем - десятков и в конце - единиц. Стоит отметить, что при этом только некоторые из цифр (например, I, M, X, C) могут дублироваться, но не больше, чем три раза. Следовательно, при помощи римских цифр можно записать практически любое целое число. Для современного человека, чтобы упростить подсчет, существует специальная таблица систем счисления римских цифр.

Использование римских цифр

Данная система счисления очень широко применялась в СССР при обозначении даты для указания месяца. Очень часто на надгробиях даты жизни и смерти указываются в особом формате, где порядковый номер месяца пишется римскими символами. В настоящее время, с переходом на компьютеризированную обработку информации, использование данной системы счисления практически кануло в Лету. Однако есть сферы, где «римский стиль» изображения цифр имеет свои особенности. Например, в странах Западной Европы очень часто используют эти символы на фронтонах зданий для обозначения номера года или в титрах видео- и кинопродукции. Так, в Литве на витринах магазинов или дорожных знаках, вывесках римскими цифрами обозначаются дни недели.

Современное применение римской системы счисления

В настоящее время данный способ написания чисел не имеет широкого применения. Однако исторически устоялось, что она применяется в сферах, о которых мы подробно расскажем в этом разделе. Во всем мире принято указывать номер тысячелетия или века римскими символами. Так же происходит и при написании "порядкового номера" монаршей особы. Например, Елизавета II, Людовик XIV и т.д. Это связано с тем, что данная система счисления более "величественная". Само ее появление ассоциируется с рассветом Римской империи - образцом традиции и классики. По тому же принципу данная система изображения цифр используется для маркировки циферблата в некоторых моделях часов. Еще один распространенный случай применения римских цифр - номера томов в многотомном литературном произведении. Например: «Война и мир», том III. Иногда таким образом нумеруются части книги, разделы или главы. В некоторых изданиях можно встретить обозначение страниц с предисловием к произведению. Это делают для того, чтобы при изменении текста предисловия не менять ссылки на него в теле основного текста. Римские цифры используют для обозначения важных исторических событий или пунктов перечня. Например, II мировая война, XVII съезд КПСС, XXII Олимпийские игры и тому подобное. Помимо тем, так или иначе связанных с историей, данную систему счисления используют в химии - для указания валентности элементов; в музыкальном искусстве - для указания порядкового номера ступени в звуковом ряде. Также римские цифры используют в медицине.

Наиболее совершенным принципом представления чисел является позиционный (поместный) принцип , согласно которому один и тот же числовой знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от места, где он расположен.

Такая система счисления основывается на том, что некоторое число N единиц (основание СС) объединяются в одну единицу второго разряда, N единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д.

Основанием систем счисления может быть любое число, больше единицы . К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием N =10). В ней для обозначения первых десяти чисел служат цифры 0,…,9.

Несмотря на кажущуюся естественность такой системы, она явилась результатом длительного исторического развития.

Возникновение десятичной системы счисления связывают со счетом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 6, 12 (счет дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французском языке, например quatre – vingts, т. е. буквально четыре – двадцать, означает 80), 40, 60 и др.

При вычислениях на ПК применяется система счисления с основанием 2. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ вв. информация передавалась с помощью азбуки Морзе - в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» - комбинации коротких и длинных звонков. Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.

Современная десятичная позиционная система счисления возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. в Индии . До этого в Индии имелись системы счисления, в которых применялся не только принцип сложения, но и принцип умножения (единица какого – нибудь разряда умножается на стоящее слева число).

В то время существовало множество различных систем нумерации в различных областях Индии, одна из которых распространилась по всему миру и в настоящее время является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите (алфавит "девангари").

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3 ... 9, 10, 20, 30 ... 90, 100, 1000; с их помощью описывались другие числа. Впоследствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующею разряда; знаки для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация" "девангари" превратилась в десятичную поместную систему. Как и когда совершился этот переход, до сих пор неизвестно. К середине VIII в. позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение.

Примерно в это же время она проникает и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет , на территорию наших среднеазиатских республик , в Иран и др.). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX в. Мухаммедом из Хорезма (ныне Хорезмская область Узбекистана). Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII в. В XIII в. индийская нумерация получает преобладание вИталии . В других странах Западной Европы она утверждается в XVI в. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее арабской (исторически неправильное название удерживается и поныне).

Из арабского языка заимствовано и слою «цифра » (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (с санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово первоначально употреблялось для наименования знака пустующего разряда, и этот смысл сохраняло еще в XVIII в., хотя уже в XV в. появился латинский термин «нуль ». Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVI в.

В 9 в. появляются рукописи на арабском языке, в которых излагается эта система счисления, в 10 в. десятичная позиционная нумерация доходит до Испании , в начале 12 в. она появляется и в других странах Европы. Новая система счисления получила название арабской , т.к. в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. Только в 16 в. новая нумерация получила широкое распространение в науке и житейском обиходе. В России она начинает распространяться в 17 в. и в самом начале 18 в. вытесняет алфавитную нумерацию. С введением десятичных дробей десятичная система стала универсальным средством для записи всех действительных чисел. Она дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметических операций. Поэтому эта система начинает быстро распространяться из Индии на Запад и Восток.

Язык чисел имеет свой алфавит. В том языке чисел алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Это и есть десятичная система счисления.

Системой счисления называется способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Аналогично строились старокитайская система счисления и некоторые другие.

По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная СС. Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае . Очевидна связь этой системы счисления со строением человеческой руки. Так, у человека пять пальцев на руке, которые удобно использовать для наглядного счета.

У ацтеков и майя - народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная СС. Также эта система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со II тысячелетия до нашей эры. Основа для счета - пальцы рук и ног. Некоторые следы этой системы во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20

(1 франк = 20 су).

Широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе

(1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной СС: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук.

Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иной)

Славянские цифры до 18 в. были основным цифровым обозначением в России. Славянская нумерация сохранилась в России до конца XVII в. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах. Армяне и пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числовые значения следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах.

Первобытному человеку считать почти не приходилось. "Один", "два" и "много" - вот все его числа. Современным людям приходится иметь дело с числами буквально на каждом шагу. Нужно уметь правильно назвать и записать любое число, как бы велико оно ни было. Если бы каждое число называлось особым именем и обозначалось в письме особым знаком, то запомнить все эти слова и знаки было бы никому не под силу. Как же справиться с этой задачей? Нас выручает хорошая система обозначений.

Совокупность немногих названий и знаков, позволяющих записать любое число и дать ему имя, называется системой счисления или нумерацией.

Практически на всем земном шаре алфавитом в языке чисел служат 10 цифр, от 0 до 9. Девять из них используются для обозначения первых девяти натуральных чисел, а десятый - нуль - не обозначает никакого числа, он представляет собой так называемую "позиционную пробку". Этот язык называется десятичной системой счисления.

Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой. С точки зрения чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.

В последнее время с десятичной системой серьезно конкурируют двоичная и, отчасти, троичная системы, которыми "предпочитают" пользоваться современные вычислительные машины.

Как люди считали и как называли числа до изобретения письменности, никто точно не знает. Об этом можно только догадываться. Несомненно, одно: человечество овладевало счетом очень медленно. Однако ко времени изобретения письменности люди уже умели неплохо считать.

Четыре тысячи лет назад наиболее развитые народы (египтяне, халдеи) умели писать и пользоваться не только целыми, но и простейшими дробными числами. Более того, тогда уже существовали школы, в которых обучали искусству счета.

В первобытном письме букв не было. Каждая вещь, каждое действие изображалось картинкой. Постепенно картинки упрощались. Наряду с изображением предметов и действий появились особые фигуры, обозначающие различные свойства вещей, а так же значки для слов, соответствующих нашим предлогам и союзам.

Так возникла письменность, называемая иероглифами; при иероглифической записи каждому значку соответствует не звук, как у нас, а целое слово.

Специальных знаков (цифр) для записи чисел тогда не было. Но словам "один", "два", ... "семнадцать" и так далее соответствовали определенные иероглифы. Их было не так уж много, так как больших чисел люди тогда не знали.

В некоторых странах (например, Китае и Японии) иероглифическое письмо сохранилось и до наших дней. Вот, для примера (см. рис. 2), несколько иероглифов:

Рис. 2

У славян порядок цифр при записи числа был такой же, как в его устном названии. Говорят, например, "пятнадцать" (по-славянски - "пять на десять"), называя вперед цифру единиц, потом десяток. Славяне так и писали, то есть впереди писали пятерку, а за нею десяток. Наоборот, в числе "двадцать три" сначала называют десятки, потом единицы, у славян сначала три потом двадцать это отображалось в письме.

Чтобы отличить числа от букв, над ними ставили особый значок - титло. Оно ставилось только над одной из цифр. Место цифры, ее положение в записи числа не имело значения.

С помощью этих знаков легко записывались большие числа. Знак титло обозначал тысячи. С помощью повторения этого знака можно было записывать очень большие числа

Числа до тысячи в Древней Руси назывались почти так же, как сейчас. Существовала небольшая разница в произношении (например, "один" называли "един" и тому подобное). Десять тысяч называлось "тьма", и число это считалось столь огромным, что тем же словом обозначалось всякое, не поддающееся учету множество.

В более позднее время (XVI - XVII вв.) появилась своеобразная система наименования чисел, так называемое "великое славянское число", в этой системе числа до 999999 назывались почти так же, как теперь. Слово "тьма" обозначает уже миллион. Кроме того, появляются следующие названия: "тьма тем", или "легион" (то есть миллион миллионов, или триллион, равен 10); "легион легионов", или "модр" (септиллион, 1024); наконец, "модр модров", или "ворон" (то есть 1048).

Позиционная нумерация возникла, по-видимому, в древнем Вавилоне (примерно четыре тысячи лет назад). О ней будет сказано чуть позднее. В Индии она приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля. У индусов эту систему чисел заимствовали арабы, ставшие в VIII - IX вв. одним из самых культурных народов мира. От арабов переняли ее европейцы (отсюда название - "арабские цифры").

Особый интерес представляет вавилонская математика. Вавилонская нумерация просуществовала полторы тысячи лет (с XVIII до III в. до нашей эры) и пользовалась широким распространением на всем Ближнем Востоке. Она оказала влияние на китайскую, индийскую и греческую математику.

Вавилоняне писали палочками на пластинках из мягкой глины и обжигали потом свои "рукописи". Получались прочные кирпичные "документы", частично уцелевшие до нашего времени, их нередко находят при раскопках в Месопотамии (теперь Ирак). Поэтому изучить вавилонскую историю и математику в частности удалось довольно хорошо.

На рубеже XIX - XVIII вв. до нашей эры произошло слияние двух народов: сумерийцев и аккадян. Каждый из этих народов имели достаточно развитую торговлю, весовые и денежные единицы, однако разработанной нумерации ни один из этих народов не имел.

У аккадян основная единица - "мекель" - была примерно в 60 раз меньше единицы у сумерийцев - "мины" (примерно пол килограмма). Денежной единицей служила мина серебра.

После слияния этих народов "имели хождение" обе системы единиц: минами и мекелями пользовались так, как теперь пользуются килограммами и граммами (рублями и копейками) с той лишь разницей, что более крупная единица равнялась не 100, а 60 мелким единицам. Со временем появилась более крупная единица - "талант": 1 талант = 60 мин, 1 мина = 60 мекелей.

Как же вавилоняне записывали числа? Они писали палочками, вдавливая их в глину, поэтому основными графическими элементами были у них клинья. Первый обозначал единицы, второй - десятки, смотри рис. 3.

Рис. 3

Эти знаки очень наглядны, количество клинышков бросается в глаза, так что пересчитывать их не приходится. Но клинописное письмо очень неудобно для оценки величины промежутков между числами, а необходимость переписывать все от руки приводила к частым опискам. Знак разделения был необходим, и он появился. Начиная с некоторого времени, на вавилонских кирпичиках появляется значок ^, соответствующий нашему нулю.

Однако, введя "позиционную пробку" в середине чисел, вавилоняне так и не додумались ставить ее на конце. И до самого падения вавилонской культуры числа 1, 60, 3000 записывались одинаково.

Только индусы, заимствовавшие у них позиционную нумерацию, научились правильно использовать знак нуля, и, введя вместо 60 основание 10, дали счислению его современную форму.

Три тысячи лет назад индусы уже пользовались современной нумерацией, хотя в памятниках того времени и не упоминаются числа, большие 100000. В более поздних источниках встречаются значительно большие числа - до ста квадриллионов (1017). В одной из сравнительно молодых легенд о Будде говорится, что он знал названия чисел до 1054. Впрочем, индусы, по - видимому, не представляли себе бесконечности натурального ряда, они полагали, что существует какое-то наибольшее число, известное только богам.

Доказательство бесконечности числового ряда - заслуга древнегреческих ученых.